陈昊,郑捷,钟笑寒

• 1:国开金融有限责任公司
• 2:清华大学经济管理学院

摘要(Abstract)：

本文使用竞赛模型对学校分层教学(即按能力分班)及随机分班进行评估。假定学生天赋服从均匀分布,模型表明,相对于随机分班而言,分层教学有助于促进低天赋和高天赋学生的学习,但对中等天赋学生的学习有消极影响。当学校目标是全面教学,即学校注重所有学生的成就时,随机分班优于分层教学;而当学校目标是培优教学,即关注最好学生的成就时,分层教学是更好的选择。

关键词(KeyWords)： 分层教学;随机分班;竞赛模型

Abstract:

Keywords:

基金项目(Foundation): 国家自然科学基金(批准号:71203112、6151101095)、国家自然科学基金(批准号:71173127)的资助;; 清华大学自主科研项目(批准号:2012Z02181、20151080397)的资助

作者(Author): 陈昊,郑捷,钟笑寒

DOI: 10.16513/j.cnki.cje.2015.04.003

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• ①需要说明,分层教学(ability-based grouping)有别于西方教育系统中常见的分轨制(tracking)。前者指学校按照一定能力指标(如入学成绩)将学生分班;后者指学生在接受初等教育之后,选择接受学术化教育(academic track)或职业化教育(vocational track)。分轨制问题不属于本文讨论的范围。有关分轨制的探讨请参见Alexander and McDill(1976)以及Gamoran(1987)等人的研究。
• ①例如,大量民间机构以高考成绩(平均分、最高分及重点大学升学率等指标)为参照对中学进行综合排名。
• ②“锦标赛”这一称谓最早缘于体育赛事。在比赛中获得最好成绩的选手赢得锦制的标旗,因此这类比赛被称为锦标赛。
• ①与企业内部员工晋升或体育赛事比较,学生之间的竞争也有重要区别。特别的,学生最终的奖励(例如高考的名次)和他(她)在某一个小团体中的相对表现并无直接关系。不过,考虑到学生学习的激励仍然与其所处的小团体存在很大的关系,我们的模型分析仍然有现实意义。
• ①一个例外是Lazear(2001)。作者假定学生的不良表现会扰乱课堂,因而给班内其余学生带来负外部性,分析认为总的教育产出(即平均的不受干扰的教育时间)在按能力分班时为最大,这里假定了低能力学生更倾向于扰乱课堂。
• ①如Spence(1973)劳动力市场模型所述,天赋和能力是无法准确观测的。因而在计量经济学中,学者通常以成绩当作学生天赋的代理变量(proxy variable),如伍德里奇在《计量经济学导论》一书中写道“由于观测不到能力这个变量,我们不知道如何估计它,也不知道如何解释。在预测工资的方程时,一种可能性就是用智商或者IQ作为能力变量的一个代理变量。这并不要求IQ就等同于能力,只需要IQ与能力相关。”进一步地,McKinley and Neumark(1992),Herrnstein and Murray(1994)等均以IQ测试的成绩作为能力和天赋的代理变量。事实上,分班的确是依据入学考试的成绩,这也为我们的假设提供了有力的现实依据。
• ①我们也尝试了成本函数为凸的情形。此时涉及快班成就的部分无法得到解析解,而数值解显示出的结论与线性成本函数时一致,因而我们在文章中选用线性成本函数以使表述更为清晰。
• ②假定学生天赋服从均匀分布对于求出模型的解析解提供了便利。特别的,当假定学生天赋服从均匀分布时,无论是随机分班还是按能力分班,班内学生的天赋分布仍然都是均匀分布的。此外,注意到由于学生天赋这一变量在现实中并无统一的测量方法,可以说任何测度方法的正单调变换都可以作为天赋的测度,因此天赋的分布函数不是唯一的,而且和成就函数α(θ)的设定是不可分的。另一个问题是,由于国内不同中学学生的分层现象比较严重,即使我们知道了学生天赋的总体分布,也难以判断各个中学内学生天赋是如何分布的。在无法比较不同分布的现实和理论合理性的前提下,假定均匀分布是我们分析的一个方便的起点,我们将在文章第6部分讨论分布一般化的影响。
• ①这里我们集中研究成就(以及努力)与天赋正相关的对称均衡,求解过程将证明其存在性。但这一均衡是否为唯一均衡则没有定论。在不完全信息、参赛者独立且仅有2人时,Amann and Leinigner(1996)已证明努力为天赋的增函数,同时均衡存在且唯一。在不完全信息、参赛者人数多于2人的情况下,往往不能排除多重均衡存在的可能性。因此,文献一般都直接假设努力为天赋的增函数,从而可以由此推导出对应均衡,如Krishna and Morgan(1997)(参赛者完全对称但不独立),Fibich et al.(2006)(参赛者完全对称独立但厌恶风险),Parreiras and Rubinchik(2010)(参赛者完全独立但异质)等。本文的分析框架为不完全信息、参赛者完全对称、独立且多于2人。
• ①之所以需要这样假设,是因为人数是离散的。当人数趋近于无穷时,才完全符合该分布。
• ①在学生人数不变前提下,最大化总分sum from i to Zn a(θ_i)与最大化平均分1/(2n)sum from i to Zn a(θ_i)是等价命题。
• ①直观来说,这时有两个因素在影响不等式a~f(θ)>a(θ)是否成立:第一,在按能力分班时,快班中天赋最差的学生(即天赋为θ_m的学生)努力为零,而在随机分班时这些学生有显著正的努力,这减弱了快班最优生(天赋为θ)的努力激励,因为他在同一班内天赋更低的对手努力减弱了。第二,按能力分班后同一班内同等天赋的学生增加了(给定天赋的概率密度是随机分班的两倍),这加剧了竞争,有利于快班同学努力的增加。而在慢班中,只有第二个因素发挥作用,因此慢班最好的学生(天赋为θ_m)比随机分班下同等天赋的学生成就更高。
• ②我们的模型要求学生天赋θ必定为正数,因此正态分布并不是一个合理的分布假设。